5. Боковая сторона равнобокой трапеции образует с основанием угол 60°, а высота трапеции равна 6√3 см. Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность.

В равнобокую трапецию можно вписать окружность, если сумма ее оснований равна сумме боковых сторон.

Пусть $$a$$ и $$b$$ - основания трапеции, $$c$$ - боковая сторона, $$h$$ - высота трапеции.

Т.к. трапеция равнобокая, то $$a + b = 2c$$.

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: $$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = c \cdot h$$.

Высота, проведенная из вершины меньшего основания, отсекает прямоугольный треугольник, в котором катет (высота трапеции) равен $$6 \sqrt{3}$$, а угол между гипотенузой (боковой стороной трапеции) и катетом (большим основанием трапеции) равен 60°.

Тогда, $$\sin 60° = \frac{h}{c}$$, откуда $$c = \frac{h}{\sin 60°} = \frac{6 \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6 \cdot 2 = 12 \text{ см}$$.

Следовательно, $$S = c \cdot h = 12 \cdot 6 \sqrt{3} = 72 \sqrt{3} \text{ см}^2$$.

Ответ: $$72 \sqrt{3}$$ см².