6. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а угол между боковой стороной и большим основанием трапеции равен $$\alpha$$. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если её высота равна $$h$$.

Решение: 1. Обозначим трапецию $$ABCD$$, где $$AB = CD$$, $$BC \parallel AD$$ и $$AC \perp CD$$. 2. Пусть $$\angle CAD = \alpha$$. Так как $$AC \perp CD$$, то $$\angle ACD = 90^\circ$$. 3. В трапеции $$ABCD$$ $$\angle ADC = 90^\circ - \alpha$$. 4. Так как трапеция равнобокая, $$\angle BAD = \angle CDA = \alpha$$, и $$\angle ABC = \angle BCD = 180^\circ - \alpha$$. 5. $$\angle BAC = \angle BAD - \angle CAD = \alpha - (90^\circ - \alpha) = 2\alpha - 90^\circ$$. 6. Так как вокруг трапеции можно описать окружность, то она вписана в окружность. А значит, $$\angle BCD = 180 - \alpha$$ и $$\angle BAD = \alpha$$. Так как $$\angle BAD + \angle BCD = 180$$, $$\angle ABC = 180 - \alpha$$ и $$\angle ADC = \alpha$$. Отсюда $$\alpha = 90^\circ - \alpha$$, $$\alpha = 45^\circ$$. 7. Так как $$\angle ADC = 45^\circ$$, то треугольник $$ACD$$ - прямоугольный и равнобедренный, а значит $$AC = CD$$. 8. Пусть $$h$$ - высота трапеции, тогда $$CD = h$$. 9. В прямоугольном треугольнике $$ACD$$ гипотенуза $$AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{h^2 + h^2} = h\sqrt{2}$$. 10. Радиус окружности, описанной около трапеции равен радиусу окружности, описанной около треугольника $$ACD$$. 11. Используем формулу для радиуса описанной окружности: $$R = \frac{abc}{4S}$$, где $$a, b, c$$ - стороны треугольника, $$S$$ - его площадь. 12. В треугольнике $$ACD$$: $$AC = CD = h$$ и $$AD = h\sqrt{2}$$. Площадь треугольника $$ACD = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CD = \frac{1}{2} h^2$$. 13. $$R = \frac{h \cdot h \cdot h\sqrt{2}}{4 \cdot \frac{1}{2} h^2} = \frac{h^3 \sqrt{2}}{2 h^2} = \frac{h \sqrt{2}}{2}$$. Ответ: $$R = \frac{h \sqrt{2}}{2}$$.