Билет 8 1. Треугольник, его элементы. Равные треугольники. 2. Свойства параллельных прямых. 3. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота CD. Найдите величину угла А, если DB = 8, a BC=16. 4. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и ВС, угол ОАВ равен 25°. Найдите величину угла OCD.

Краткое пояснение:

Повторяем элементы треугольника, свойства параллельных прямых. Решаем задачи на нахождение углов в прямоугольном треугольнике с высотой и углов в окружности с диаметрами.

Пошаговое решение:

1. Задача 3:
   
   
   
   • В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°) проведена высота CD.
     
     
     
     • Значит, \( \triangle CDB \) - прямоугольный, \( \angle CDB = 90° \).
     
     
     • Также \( \triangle ADC \) - прямоугольный, \( \angle CDA = 90° \).
     
     
     • \( \triangle ABC \) подобен \( \triangle CDB \) и \( \triangle ADC \).
     
     
     
     
   
   
   • В \( \triangle CDB \): \( \angle CBD + \angle BCD = 90° \).
   
   
   • В \( \triangle ABC \): \( \angle ABC + \angle BAC = 90° \).
   
   
   • Так как \( \angle ABC = \angle CBD \), то \( \angle BAC = \angle BCD \).
   
   
   • В \( \triangle CDB \) катет DB = 8, гипотенуза BC = 16.
   
   
   • Используем синус угла \( \angle BCD \): \( \sin(\angle BCD) = \frac{DB}{BC} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \).
   
   
   • Значит, \( \angle BCD = 30° \).
   
   
   • Так как \( \angle BAC = \angle BCD \), то \( \angle BAC = 30° \).
   
   
   
   Ответ: 30°


2. Задача 4:
   
   
   
   • AD и BC - диаметры окружности с центром O.
   
   
   • OA = OB = OC = OD = радиус (r).
   
   
   • \( \triangle OAB \) - равнобедренный, так как OA = OB = r.
   
   
   • \( \angle OAB = 25° \), значит, \( \angle OBA = 25° \).
   
   
   • \( \angle AOB = 180° - (25° + 25°) = 180° - 50° = 130° \).
   
   
   • \( \angle COD \) - вертикальный с \( \angle AOB \), значит, \( \angle COD = 130° \).
   
   
   • \( \triangle OCD \) - равнобедренный, так как OC = OD = r.
   
   
   • \( \angle OCD = \angle ODC \).
   
   
   • \( \angle OCD + \angle ODC + \angle COD = 180° \)
   
   
   • \( 2 \angle OCD + 130° = 180° \)
   
   
   • \( 2 \angle OCD = 50° \)
   
   
   • \( \angle OCD = 25° \).
   
   
   
   Ответ: 25°