Билет №7. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках.

Решение:

Теорема Фалеса: Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой стороне.

Теорема о пропорциональных отрезках: Через одну из вершин треугольника проведена прямая, параллельная противоположной стороне. Тогда она пересекает две другие стороны, высекая на них пропорциональные отрезки.

Пусть дан \( \triangle ABC \) и прямая DE, параллельная стороне BC, где D лежит на AB, а E лежит на AC. Тогда

\( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \)

Доказательство:

Проведем через точку D прямую, параллельную AC. Она пересечет BC в точке F. Так как DE || BC, то DBFE — параллелограмм. Следовательно, DB = EF и DE || BC.

Рассмотрим \( \triangle ADE \) и \( \triangle ABC \). \( \angle A \) — общий. Так как DE || BC, то \( \angle ADE = \angle ABC \) и \( \angle AED = \angle ACB \) (как соответственные углы).

Следовательно, \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) по первому признаку подобия.

Из подобия следует:

\( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \)

Также, из того, что DBFE — параллелограмм, имеем DE = BF и EF = DB.

Значит, \( \frac{DE}{BC} = \frac{BF}{BC} \).

Мы хотим доказать, что \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \).

Пусть \( AD = x · DB \) и \( AE = y · EC \). Нам нужно доказать, что \( x=y \).

Из \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \) имеем \( \frac{AD}{AD+DB} = \frac{AE}{AE+EC} \).

\( AD(AE+EC) = AE(AD+DB) \)

\( AD · AE + AD · EC = AE · AD + AE · DB \)

\( AD · EC = AE · DB \)

\( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \).

Теорема доказана.