Билет №1. Признаки параллелограмма. Доказать теорему об отрезках пересекающихся хорд.

Решение:

Признаки параллелограмма:

1. Если у четырехугольника диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
2. Если у четырехугольника противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
3. Если у четырехугольника противоположные углы попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
4. Если у четырехугольника одна пара сторон параллельна и равна, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Теорема об отрезках пересекающихся хорд:

Если две хорды AB и CD пересекаются в точке P, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:

\( AP \cdot PB = CP \cdot PD \)

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники \( \triangle APC \) и \( \triangle DPB \).
2. Углы \( \angle APC \) и \( \angle DPB \) равны как вертикальные.
3. Углы \( \angle CAP \) и \( \angle CDB \) равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу CB.
4. Углы \( \angle ACD \) и \( \angle ABD \) равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу AD.
5. Следовательно, \( \triangle APC \sim \triangle DPB \) по двум углам.
6. Из подобия следует отношение сторон: \( \frac{AP}{DP} = \frac{CP}{PB} \).
7. Перемножив крест-накрест, получим: \( AP \cdot PB = CP \cdot DP \).

Теорема доказана.