Билет №2. 1. Определение параллелограмма. Свойство его углов и диагоналей. Доказательство. 2. Центральные и вписанные углы, свойства вписанных углов.

Решение:

1. Параллелограмм:

Определение: Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства углов:

• Противоположные углы равны: \( \angle A = \angle C \), \( \angle B = \angle D \).
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°: \( \angle A + \angle B = 180° \), \( \angle B + \angle C = 180° \) и т.д.

Свойства диагоналей:

• Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство свойства углов:

Пусть ABCD — параллелограмм. Так как AB || DC, то \( \angle B + \angle C = 180° \) (как сумма односторонних углов при параллельных прямых AB и DC и секущей BC).

Так как BC || AD, то \( \angle C + \angle D = 180° \) (как сумма односторонних углов при параллельных прямых BC и AD и секущей DC).

Приравнивая правые части, получаем \( \angle B + \angle C = \angle C + \angle D \), откуда \( \angle B = \angle D \).

Аналогично доказывается, что \( \angle A = \angle C \).

Доказательство свойства диагоналей:

Рассмотрим \( \triangle ABC \) и \( \triangle CDA \). AB = CD и BC = DA (как противоположные стороны параллелограмма). \( \angle BAC = \angle DCA \) и \( \angle BCA = \angle DAC \) (как накрест лежащие углы при параллельных сторонах и диагонали).

Следовательно, \( \triangle ABC = \triangle CDA \) по стороне и двум прилежащим к ней углам (или по трем сторонам).

Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Рассмотрим \( \triangle AOB \) и \( \triangle COD \). AB = CD, \( \angle OAB = \angle OCD \) и \( \angle OBA = \angle ODC \) (как накрест лежащие углы).

Следовательно, \( \triangle AOB = \triangle COD \) по стороне и двум прилежащим к ней углам. Отсюда AO = CO и BO = DO. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

2. Центральные и вписанные углы:

Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности.

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Свойство вписанного угла:

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, или половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

\( \angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \text{ дуги } AC \)

Следствия из свойства:

• Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
• Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.