Билет №5. 1. Медианы, биссектрисы, высоты треугольника. 2. Равнобедренная трапеция. Свойства (доказательство одного из них). 3. Задача.

Билет №5

1. Медианы, биссектрисы, высоты треугольника

   Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

   Биссектриса — это отрезок, который делит угол треугольника пополам и выходит из вершины этого угла.

   Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или её продолжение).

2. Равнобедренная трапеция. Свойства

   Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны.

   Свойства равнобедренной трапеции:

   1. Углы при каждом основании равны.
   2. Диагонали равны.
   3. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота трапеции равна полусумме оснований.

   Доказательство свойства 1 (Углы при каждом основании равны):

   Дан равнобедренная трапеция ABCD (AD || BC, AB = CD). Проведём высоту BH и CK из вершин B и C на основание AD. Треугольники ABH и DCK прямоугольные. AB = CD (по условию). \( \angle BAH = \angle CDK \) (углы при основании трапеции). По катету и острому углу (третий признак равенства прямоугольных треугольников), \( \triangle ABH = \triangle DCK \). Следовательно, AH = DK.

   Рассмотрим треугольники ABC и DCB. AB = DC, BC — общая сторона, \( \angle ABC = \angle DCB \) (свойство равнобедренной трапеции, которое мы доказываем, поэтому здесь нужно другое доказательство или использовать свойство параллельных прямых). Альтернативное доказательство:

   Проведём через вершину B прямую, параллельную боковой стороне CD, и точку её пересечения с основанием AD обозначим E. Тогда BCDE — параллелограмм. Значит, BE = CD, а \( \angle BED = \angle BCD \) (противоположные углы параллелограмма). Поскольку AB = CD, то AB = BE. \( \triangle ABE \) — равнобедренный. \( \angle BAE = \angle BEA \). Так как \( \angle BEA = \angle BCD \) (как углы, смежные с углами параллелограмма), то \( \angle BAE = \angle BCD \). Следовательно, углы при основании трапеции равны.

3. Задача