Билет №1. 1. Взаимное расположение прямых на плоскости. Определение, обозначение. 2. Теорема Пифагора (с доказательством). 3. Задача.

Билет №1

1. Взаимное расположение прямых на плоскости

   Две прямые на плоскости могут быть:

   • Пересекающимися: имеют одну общую точку.
   • Параллельными: не имеют общих точек.
   • Совпадающими: имеют бесконечное множество общих точек (являются одной и той же прямой).

   Обозначение: Прямые обычно обозначаются строчными латинскими буквами (a, b, c) или двумя точками, лежащими на прямой (AB, CD).

   Параллельность обозначается символом ∥ (например, a ∥ b).

2. Теорема Пифагора

   В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

   \( a^2 + b^2 = c^2 \)

   где \( a \) и \( b \) — катеты, \( c \) — гипотенуза.

   Доказательство (алгебраическое):

   Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами \( a, b \) и гипотенузой \( c \). Построим квадрат со стороной \( a+b \). Внутри этого квадрата разместим четыре копии данного прямоугольного треугольника так, чтобы их гипотенузы образовывали меньший квадрат. Сторона этого меньшего квадрата равна \( c \). Площадь большого квадрата равна \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

   Площадь четырёх треугольников равна \( 4 \cdot \frac{1}{2}ab = 2ab \).

   Площадь внутреннего квадрата равна \( c^2 \).

   Сумма площадей четырёх треугольников и внутреннего квадрата равна площади большого квадрата:

   \[ 2ab + c^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

   Вычитая \( 2ab \) из обеих частей, получаем:

   \[ c^2 = a^2 + b^2 \]

3. Задача