Билет № 15. 1. Центральный угол. Вписанный угол. 2. Площадь трапеции (формулировка и доказательство). 3. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно 10см, а боковая сторона равна 13см.

Решение:

1. Центральный и вписанный углы:

• Центральный угол: Угол, вершина которого совпадает с центром окружности. Величина центрального угла равна величине дуги, на которую он опирается.
• Вписанный угол: Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.

2. Площадь трапеции: Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. $$S = rac{a+b}{2} imes h$$, где $$a$$ и $$b$$ — основания трапеции, $$h$$ — высота. Доказательство: Трапецию можно разделить на два треугольника диагональю. Площадь первого треугольника равна $$rac{1}{2} a h_1$$, второго — $$rac{1}{2} b h_2$$. Если диагональ делит трапецию на два треугольника, то $$h_1+h_2 = h$$. Площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников. Другой способ: Разбить трапецию на прямоугольник и два треугольника. Или представить, что две одинаковые трапеции можно сложить в параллелограмм, площадь которого равна удвоенной площади трапеции. Основание параллелограмма будет $$a+b$$, высота — $$h$$. Площадь параллелограмма $$S_{par} = (a+b)h$$. Площадь трапеции $$S = rac{S_{par}}{2} = rac{(a+b)h}{2}$$.

3. Найдите площадь равнобедренного треугольника:

1. Основание: $$a = 10$$ см.
2. Боковая сторона: $$b = 13$$ см.
3. Высота: Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, делит основание пополам. Получаем два прямоугольных треугольника с гипотенузой 13 см и одним катетом 5 см (половина основания).
4. Найдем высоту (h) по теореме Пифагора: $$h^2 + 5^2 = 13^2$$
5. $$h^2 + 25 = 169$$
6. $$h^2 = 169 - 25 = 144$$
7. $$h = ext{sqrt}(144) = 12$$ см.
8. Площадь треугольника: $$S = rac{1}{2} imes основание imes высота = rac{1}{2} imes 10 imes 12 = 5 imes 12 = 60$$ см².

Ответ: 60 см²