9. (3 балла) Решите уравнение 2 sin²x-√3cos(π/2-x) = 0. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π].

Решим уравнение 2sin²x - √3cos(π/2 - x) = 0.

Используем формулу приведения cos(π/2 - x) = sin(x):

2sin²x - √3sinx = 0

sin(x)(2sin(x) - √3) = 0

1) sin(x) = 0, тогда x = πn, где n ∈ Z.

2) 2sin(x) - √3 = 0

2sin(x) = √3

sin(x) = √3/2

x = π/3 + 2πk, где k ∈ Z, или x = 2π/3 + 2πm, где m ∈ Z.

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π].

1) x = πn

3π/2 ≤ πn ≤ 3π

3/2 ≤ n ≤ 3

n = 2 или n = 3

x = 2π или x = 3π

2) x = π/3 + 2πk

3π/2 ≤ π/3 + 2πk ≤ 3π

3/2 ≤ 1/3 + 2k ≤ 3

9/6 - 2/6 ≤ 4k ≤ 18/6 - 2/6

7/6 ≤ 4k ≤ 16/6

7/24 ≤ k ≤ 16/24 = 2/3

k - нет целых значений

3) x = 2π/3 + 2πm

3π/2 ≤ 2π/3 + 2πm ≤ 3π

3/2 ≤ 2/3 + 2m ≤ 3

9/6 - 4/6 ≤ 4m ≤ 18/6 - 4/6

5/6 ≤ 4m ≤ 14/6

5/24 ≤ m ≤ 14/24 = 7/12

m - нет целых значений

Ответ: x = 2π, x = 3π.