B7 К покоящемуся на горизонтальной поверхности бруску массой m = 1,0 кг прикреплена невесомая недеформированная пружина (см. рис.), жёсткость которой k = 0,40 кН/м. Брусок медленно переместили на расстояние l, прикладывая горизонтальную силу к свободному концу пружины. Коэффициент трения между бруском и поверхностью μ = 0,40. Если при этом силой была совершена работа А = 820 мДж, то расстояние l равно ... см.

Для решения этой задачи нам нужно учесть работу, совершаемую приложенной силой, работу силы упругости пружины и работу силы трения.

1. Работа приложенной силы:
• A_прилож = F_прилож * l
2. Работа силы упругости:
• Когда брусок перемещается на расстояние l, пружина растягивается на l. Сила упругости F_упр = k * l.
• Работа силы упругости: A_упр = - (1/2) * k * l² (минус, так как сила упругости направлена против перемещения).
3. Работа силы трения:
• Сила трения: F_тр = μ * N, где N - сила нормальной реакции опоры. Так как брусок на горизонтальной поверхности, N = m * g.
• F_тр = μ * m * g = 0,40 * 1,0 кг * 9,8 м/с² ≈ 3,92 Н.
• Работа силы трения: A_тр = - F_тр * l (минус, так как сила трения направлена против перемещения).
• A_тр = -3,92 Н * l
4. Совершённая работа:
• Работа, совершённая приложенной силой, идет на преодоление силы упругости и силы трения.
• A_прилож = - A_упр + (- A_тр) (работа против силы упругости и трения)
• F_прилож * l = (1/2) * k * l² + F_тр * l
5. Сила приложенная:
• Так как брусок перемещался медленно, это означает, что в каждый момент времени приложенная сила уравновешивает сумму силы упругости и силы трения: F_прилож = F_упр + F_тр = k * l + F_тр.
• Подставляем это в уравнение работы:
• (k * l + F_тр) * l = (1/2) * k * l² + F_тр * l
• k * l² + F_тр * l = (1/2) * k * l² + F_тр * l
• k * l² = (1/2) * k * l²
• (1/2) * k * l² = 0, что неверно.
6. Переосмыслим: Работа, совершённая приложенной силой, равна сумме изменений потенциальной энергии упругой деформации и работы против силы трения.
7. A = ΔE_п + A_тр
8. A = (1/2) * k * l² + F_тр * l
9. Данные:
• A = 820 мДж = 0,820 Дж
• k = 0,40 кН/м = 400 Н/м
• μ = 0,40
• m = 1,0 кг
• g ≈ 9,8 м/с²
• F_тр = μ * m * g = 0,40 * 1,0 кг * 9,8 м/с² = 3,92 Н
10. Подставляем значения в уравнение:
• 0,820 Дж = (1/2) * 400 Н/м * l² + 3,92 Н * l
• 0,820 = 200 * l² + 3,92 * l
• Получаем квадратное уравнение: 200 * l² + 3,92 * l - 0,820 = 0
11. Решаем квадратное уравнение:
• l = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a
• l = [-3,92 ± √(3,92² - 4 * 200 * (-0,820))] / (2 * 200)
• l = [-3,92 ± √(15,3664 + 656)] / 400
• l = [-3,92 ± √671,3664] / 400
• l = [-3,92 ± 25,91] / 400
12. Выбираем положительный корень (расстояние не может быть отрицательным):
• l = (-3,92 + 25,91) / 400 = 21,99 / 400 ≈ 0,055 м
13. Переводим в сантиметры:
• l = 0,055 м * 100 см/м = 5,5 см

Ответ: 5,5