552 б) \frac{AO}{BO} и \frac{OC}{OD}, если AB = a, DC=b;

Рассмотрим трапецию ABCD, диагонали которой пересекаются в точке O.

Рассмотрим треугольники ABO и CDO. Угол AOB = углу COD как вертикальные. Угол BAO = углу DCO как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей AC.

Следовательно, треугольники ABO и CDO подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$\frac{AB}{CD} = \frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$$

$$\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$$

Преобразуем пропорцию:

$$\frac{AO}{BO} = \frac{OC}{OD}$$

Так как AB = a, DC = b, то

$$\frac{a}{b} = \frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$$

Следовательно,

$$\frac{AO}{BO} = \frac{OC}{OD} = \frac{a}{b}$$

Ответ: $$\frac{AO}{BO} = \frac{OC}{OD} = \frac{a}{b}$$