658 На стороне CD параллелограмма ABCD отмечена точка Е. Прямые АЕ и ВС пересекаются в точке F. Найдите: а) EF и FC, если DE = 8 см, EC = 4 см, BC = 7 см, АЕ = 10 см; б) DE и ЕС, если АВ = 8 см, AD = 5 см, CF = 2 см.

Для решения задачи 658, необходимо воспользоваться подобием треугольников. а) Рассмотрим \(\triangle DEC\) и \(\triangle FEA\). Они подобны, так как \(\angle DEC = \angle FEA\) (вертикальные углы) и \(\angle EDC = \angle FAB\) (накрест лежащие углы при параллельных прямых CD и AB и секущей AE). Следовательно, \(\frac{EF}{AE} = \frac{EC}{DE+EC}\). Подставляя известные значения, получаем: \(\frac{EF}{10} = \frac{4}{8+4} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\). Отсюда \(EF = \frac{10}{3}\) см. Теперь найдем FC. Рассмотрим \(\triangle FBC\) и \(\triangle FAD\). Они подобны (углы равны). \(\frac{FC}{BC} = \frac{FA}{AD}\). Но \(FA = FE + EA = \frac{10}{3} + 10 = \frac{40}{3}\). Тогда \(\frac{FC}{7} = \frac{40/3}{5} = \frac{40}{15} = \frac{8}{3}\). Отсюда \(FC = \frac{56}{3}\) см. б) Рассмотрим \(\triangle FBC\) и \(\triangle FAD\). Они подобны, углы равны. \(\frac{CF}{BC} = \frac{AD}{CD}\) (AD и BC – основания, CD - продолжение AB). Мы знаем, что \(CD = AB = 8\), так как ABCD параллелограмм. Дано \(CF = 2\), \(AD = 5\). Поэтому \(\frac{2}{BC} = \frac{5}{8}\). Отсюда \(BC = \frac{16}{5} = 3.2\) см. Тогда \(EC = BC - BE\). Подставив значения, \(EC = 3.2 - BE\). Далее \(\frac{DE}{AE} = \frac{CD}{FA}\), где \(AE = AD = 5\). \(\frac{DE}{5} = \frac{8}{FA}\). Выразить FA через известные данные сложно из-за нехватки информации.