659 Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пересекаются в точке О. Найдите: а) АВ, если ОВ = 4 см, OD = 10 см, DC = 25 см; б) \(\frac{AO}{BO}\) и \(\frac{OC}{OD}\), если АВ = a, DC=b; в) АО, если АВ = 9,6 дм, DC = 24 см, АС = 15 см.

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AB и CD, диагонали которой пересекаются в точке O. а) Треугольники ABO и CDO подобны по двум углам (вертикальные углы при точке O и накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD). Значит, \(\frac{AB}{CD} = \frac{OB}{OD}\). Подставляем известные значения: \(\frac{AB}{25} = \frac{4}{10}\). Отсюда \(AB = \frac{4 \cdot 25}{10} = 10\) см. б) Из подобия треугольников ABO и CDO следует, что \(\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{CD}\). Таким образом, \(\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{a}{b}\). в) Пусть AO = x, тогда OC = 15 - x (так как AC = 15). Из подобия треугольников ABO и CDO имеем \(\frac{AO}{OC} = \frac{AB}{DC}\). Подставляем значения: \(\frac{x}{15-x} = \frac{9.6}{24}\). Решаем уравнение: \(24x = 9.6(15-x)\); \(24x = 144 - 9.6x\); \(33.6x = 144\); \(x = \frac{144}{33.6} = \frac{1440}{336} = \frac{30}{7}\). Следовательно, AO = \(\frac{30}{7}\) дм, или AO \(\approx\) 4.29 дм.