АЗ. Определите координаты вершин В и D прямоугольника ABCD, если А (-1; -2) и С (5; 3).

Давай определим координаты вершин B и D прямоугольника ABCD, зная координаты вершин A и C. 1. Свойства прямоугольника: В прямоугольнике ABCD противоположные стороны параллельны и равны, а все углы прямые. Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. 2. Найдем середину диагонали AC: Середина диагонали AC является также серединой диагонали BD. Координаты середины AC найдем по формуле: \[M = \left(\frac{x_A + x_C}{2}; \frac{y_A + y_C}{2}\right)\] Подставим координаты A (-1; -2) и C (5; 3): \[M = \left(\frac{-1 + 5}{2}; \frac{-2 + 3}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}; \frac{1}{2}\right) = (2; 0.5)\] Пусть координаты точки B (x; y). Тогда середина BD также равна M (2; 0.5): \[\frac{x + x_D}{2} = 2, \quad \frac{y + y_D}{2} = 0.5\] 3. Рассмотрим варианты ответов: Проверим каждый вариант, учитывая, что AB перпендикулярна BC и AD перпендикулярна DC. Это означает, что векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\) должны быть перпендикулярны, а их скалярное произведение равно 0. * Вариант 1: B(-1; 5), D(3; -2) Вектор \(\overrightarrow{AB} = (-1 - (-1); 5 - (-2)) = (0; 7)\) Вектор \(\overrightarrow{BC} = (5 - (-1); 3 - 5) = (6; -2)\) Скалярное произведение: \(0*6 + 7*(-2) = -14
eq 0\) - не подходит. * Вариант 2: B(-1; 3), D(5; -2) Вектор \(\overrightarrow{AB} = (-1 - (-1); 3 - (-2)) = (0; 5)\) Вектор \(\overrightarrow{BC} = (5 - (-1); 3 - 3) = (6; 0)\) Скалярное произведение: \(0*6 + 5*0 = 0\) - подходит. Проверим координаты середины отрезка BD: \[\left(\frac{-1 + 5}{2}; \frac{3 + (-2)}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}; \frac{1}{2}\right) = (2; 0.5)\] Так как координаты середины BD совпадают с серединой AC и векторы AB и BC перпендикулярны, то этот вариант подходит.

Ответ: 2) B(-1; 3), D(5; -2)