АВСА₁В₁С₁ - прямая треугольная призма, у которой АС = ВС=12, ∠ABC=30°. Расстояние от вершины С₁ до прямой АВ равно 12. Найдите значение выражения S ·(2√3-3), где S – площадь боковой поверхности призмы.

Краткое пояснение:

Найдем стороны основания и высоту призмы, затем вычислим площадь боковой поверхности.

Пошаговое решение:

1. Основание призмы – треугольник ABC. АС = ВС = 12, ∠ABC = 30°. Тогда ∠BAC = 30°, ∠ACB = 180° - 30° - 30° = 120°.
2. Найдем сторону AB по теореме косинусов:
   • AB² = AC² + BC² - 2 * AC * BC * cos(120°)
   • AB² = 12² + 12² - 2 * 12 * 12 * (-0.5) = 144 + 144 + 144 = 432
   • AB = √432 = 12√3
3. Расстояние от С₁ до AB равно 12, а CC₁ перпендикулярна основанию, поэтому проекция С₁ на плоскость основания (точка C) находится на расстоянии 12 от AB. Значит высота призмы – CC₁ = h.
4. Площадь треугольника ABC: S = 0.5 * AC * BC * sin(120°) = 0.5 * 12 * 12 * (√3/2) = 36√3.
5. Площадь также можно выразить как S = 0.5 * AB * h₁, где h₁ – высота, проведенная к AB. 36√3 = 0.5 * 12√3 * h₁, h₁ = 6.
6. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой h, расстоянием до AB (12) и h₁:
   • h² = 12² - 6² = 144 - 36 = 108. h = √108 = 6√3
7. Площадь боковой поверхности призмы: S = P * h = (AC + BC + AB) * h = (12 + 12 + 12√3) * 6√3 = (24 + 12√3) * 6√3 = 144√3 + 216.
8. S = 144√3 + 216
9. S * (2√3 - 3) = (144√3 + 216) * (2√3 - 3) = 144√3 * 2√3 - 144√3 * 3 + 216 * 2√3 - 216 * 3 = 864 - 432√3 + 432√3 - 648 = 216.

Ответ: 216