A15. Период полураспада радиоактивного изотопа равен 1 месяцу. Определите, за какое время число ядер этого изотопа уменьшится в 16 раз.

Решение:

Период полураспада \( T = 1 \) месяц. Необходимо найти время \( t \), за которое число ядер уменьшится в 16 раз. Это значит, что останется \( N = \frac{N_0}{16} \) ядер, где \( N_0 \) — начальное число ядер.

Формула для определения оставшегося количества радиоактивных ядер:

\[ N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T}} \]\[ \frac{N_0}{16} = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T}} \]\[ \frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T}} \]\[ \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T}} \]\[ 4 = \frac{t}{T} \]\[ t = 4T \]\[ t = 4 \cdot 1 \text{ месяц} = 4 \text{ месяца} \]

Ответ: 4 месяца