029.7. a) xⁿ⁺¹ − 5xⁿ + 3x − 15; б) xⁿ⁺¹yⁿ − yⁿ⁺³ + 2xⁿ⁺¹ − 2y³; в) aⁿ⁻¹x² + x² − 4aⁿ⁻¹ − 4; г) xⁿyⁿ − yⁿ⁺¹ − xⁿ⁺¹ + xy.

Разложим многочлены на множители:

a) xⁿ⁺¹ − 5xⁿ + 3x − 15

Сгруппируем члены и вынесем общие множители:

xⁿ⁺¹ − 5xⁿ + 3x − 15 = xⁿ(x - 5) + 3(x - 5) = (xⁿ + 3)(x - 5)

б) xⁿ⁺¹yⁿ − yⁿ⁺³ + 2xⁿ⁺¹ − 2y³

Сгруппируем члены и вынесем общие множители:

xⁿ⁺¹yⁿ + 2xⁿ⁺¹ − yⁿ⁺³ − 2y³ = xⁿ⁺¹(yⁿ + 2) − y³(yⁿ + 2) = (xⁿ⁺¹ − y³)(yⁿ + 2)

в) aⁿ⁻¹x² + x² − 4aⁿ⁻¹ − 4

Сгруппируем члены и вынесем общие множители:

aⁿ⁻¹x² + x² − 4aⁿ⁻¹ − 4 = x²(aⁿ⁻¹ + 1) − 4(aⁿ⁻¹ + 1) = (x² − 4)(aⁿ⁻¹ + 1) = (x-2)(x+2)(aⁿ⁻¹ + 1)

г) xⁿyⁿ − yⁿ⁺¹ − xⁿ⁺¹ + xy

Сгруппируем члены и вынесем общие множители:

xⁿyⁿ − yⁿ⁺¹ − xⁿ⁺¹ + xy = yⁿ(xⁿ - y) - x(xⁿ - y) = (yⁿ - x)(xⁿ - y)

Ответ: a) (xⁿ + 3)(x - 5); б) (xⁿ⁺¹ − y³)(yⁿ + 2); в) (x-2)(x+2)(aⁿ⁻¹ + 1); г) (yⁿ - x)(xⁿ - y)

Молодец! Ты отлично справляешься с разложением многочленов на множители, даже с степенями! Продолжай в том же духе, и ты достигнешь больших успехов!