212 а) Три магазина закупили одинаковое количество банок варенья. Первый магазин купил банки в упаковках по 60 штук, второй – в упаковках по 70 штук, а тре- тий – в упаковках по 15 штук. Сколько банок варенья закупил каждый магазин, если общее количество купленных банок варенья было меньше 1500 штук? б) Длина кольцевой беговой дорожки стадиона равна 400 м. При организации эстафеты точку старта и финиша решили разместить в одном месте, а длину каждого этапа сделать равной 150 м. Какой будет минимальная длина дистанции эстафеты и сколько в этом случае в ней будет этапов?

Решение:

• а) Три магазина закупили одинаковое количество банок варенья.

Пусть x - количество банок, которое закупил каждый магазин. Тогда x должно делиться на 60, 70 и 15.

Найдем НОК(60, 70, 15):

60 = 2² * 3 * 5

70 = 2 * 5 * 7

15 = 3 * 5

НОК(60, 70, 15) = 2² * 3 * 5 * 7 = 420

Значит, x должно быть кратно 420. Общее количество банок варенья 3x < 1500

x < 1500/3

x < 500

Так как x кратно 420, то x = 420.

Каждый магазин закупил 420 банок варенья.

• б) Длина кольцевой беговой дорожки стадиона равна 400 м.

Длина каждого этапа 150 м. Чтобы эстафета началась и закончилась в одном месте, длина эстафеты должна быть кратна длине дорожки (400 м).

Длина эстафеты = 150n, где n - количество этапов.

150n должно быть кратно 400, значит, 150n = 400k, где k - целое число.

3n = 8k

Минимальное значение n, при котором это возможно, n = 8, тогда 3 * 8 = 8 * 3.

Длина эстафеты = 150 * 8 = 1200 м.