123. а) На сторонах АВ, ВС, CD, AD квадрата ABCD отмечены соответственно точки Р, М, Е и К так, что AP-BM=CE=DK=3 см, ∠APK=60°. Найдите периметр четырехугольника РМЕК.

Рассмотрим квадрат ABCD. На сторонах AB, BC, CD, AD отмечены точки P, M, E, K соответственно, такие, что AP=BM=CE=DK=3 см, ∠APK=60°. Так как ABCD - квадрат, то все его углы прямые. Рассмотрим треугольник APK. Он прямоугольный, так как угол A равен 90°. Угол APK равен 60°, следовательно, угол AKP = 180°-90°-60°=30°. tg(APK) = AK/AP, AK = AP * tg(APK) = 3 * tg(60°) = 3 * \sqrt{3}. Тогда KB = AB - AK = AB - 3\sqrt{3}. Так как AP=BM=CE=DK=3 см, то AB=BC=CD=AD, и AP=BM=CE=DK, AK=CM=DE=BP=3\sqrt{3}.

Рассмотрим треугольник PBМ. Он прямоугольный. PM = \sqrt{PB^2 + BM^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6. Аналогично ME = EK = KP = 6.

Следовательно, PMEK - ромб. Периметр ромба PMEK = 4 * PM = 4 * 6 = 24.

Ответ: 24