9. y" - 4y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0

Решение:

Характеристическое уравнение: \( r^2 - 4 = 0 \).

Корни уравнения: \( r^2 = 4 \) → \( r = 2 \) и \( r = -2 \).

Общее решение: \( y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \).

Найдём производную: \( y'(x) = 2C_1 e^{2x} - 2C_2 e^{-2x} \).

Применим начальные условия:
\( y(0) = C_1 + C_2 = 1 \)
\( y'(0) = 2C_1 - 2C_2 = 0 \>

Решим систему уравнений:
Из второго уравнения: \( 2C_1 = 2C_2 \) → \( C_1 = C_2 \).
Подставим в первое: \( C_1 + C_1 = 1 \) → \( 2C_1 = 1 \) → \( C_1 = \frac{1}{2} \).
Тогда \( C_2 = \frac{1}{2} \).

Частное решение: \( y(x) = \frac{1}{2} e^{2x} + \frac{1}{2} e^{-2x} \).

Ответ: \( y(x) = \frac{1}{2} e^{2x} + \frac{1}{2} e^{-2x} \).