2. y" + 4y' + 4y = 0, y(0) = 2, y'(0) = -1

Решение:

Характеристическое уравнение: \( r^2 + 4r + 4 = 0 \).
Это полный квадрат: \( (r+2)^2 = 0 \).
Корень: \( r = -2 \) (кратности 2).

Общее решение: \( y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{-2x} \).

Найдём производную: \( y'(x) = C_2 e^{-2x} - 2(C_1 + C_2 x) e^{-2x} \).

Применим начальные условия:
\( y(0) = (C_1 + 0) e^0 = C_1 = 2 \)
\( y'(0) = C_2 e^0 - 2(C_1 + 0) e^0 = C_2 - 2C_1 = -1 \>

Подставим \( C_1 = 2 \) во второе уравнение: \( C_2 - 2(2) = -1 \) → \( C_2 - 4 = -1 \) → \( C_2 = 3 \).

Частное решение: \( y(x) = (2 + 3x) e^{-2x} \).

Ответ: \( y(x) = (2 + 3x) e^{-2x} \).