1. y" - 5y' + 6y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0

Решение:

Характеристическое уравнение: \( r^2 - 5r + 6 = 0 \).
Корни уравнения: \( (r-2)(r-3) = 0 \), значит \( r_1 = 2 \) и \( r_2 = 3 \).

Общее решение: \( y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} \).

Найдём производную: \( y'(x) = 2C_1 e^{2x} + 3C_2 e^{3x} \).

Применим начальные условия:
\( y(0) = C_1 + C_2 = 1 \)
\( y'(0) = 2C_1 + 3C_2 = 0 \>

Решим систему уравнений:
Из первого уравнения: \( C_1 = 1 - C_2 \).
Подставим во второе: \( 2(1 - C_2) + 3C_2 = 0 \) → \( 2 - 2C_2 + 3C_2 = 0 \) → \( C_2 = -2 \).
Тогда \( C_1 = 1 - (-2) = 3 \).

Частное решение: \( y(x) = 3 e^{2x} - 2 e^{3x} \).

Ответ: \( y(x) = 3 e^{2x} - 2 e^{3x} \).