4. y" - 4y' + 5y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 2

Решение:

Характеристическое уравнение: \( r^2 - 4r + 5 = 0 \).

Найдем дискриминант: \( D = (-4)^2 - 4 1 5 = 16 - 20 = -4 \).

Корни: \( r = \frac{4 \sqrt{-4}}{2} = \frac{4 2i}{2} = 2 i \).

Здесь \( \alpha = 2 \) и \( \beta = 1 \).

Общее решение: \( y(x) = e^{2x} (C_1 x + C_2 x) \).

Найдём производную: \( y'(x) = 2e^{2x} (C_1 x + C_2 x) + e^{2x} (C_1 - C_2 x) \).

Применим начальные условия:
\( y(0) = e^0 (C_1 0 + C_2 0) = C_2 = 1 \)
\( y'(0) = 2e^0 (C_1 0 + C_2 0) + e^0 (C_1 - C_2 0) = 2C_2 + C_1 = 2 \>

Подставим \( C_2 = 1 \) во второе уравнение: \( 2(1) + C_1 = 2 \) → \( 2 + C_1 = 2 \) → \( C_1 = 0 \).

Частное решение: \( y(x) = e^{2x} (0 x + 1 x) = e^{2x} x \).

Ответ: \( y(x) = e^{2x} x \).