№9. В треугольнике АВС АС = BC=5, sinB = 3/5. Найдите АВ.

Решение:

Треугольник ABC — равнобедренный, так как AC = BC. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть \( \angle A = \angle B \).

1. Так как \( \angle A = \angle B \), то \( \sin A = \sin B = \frac{3}{5} \).
2. Используем теорему синусов для треугольника ABC: \( \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \).
3. Возьмем отношение \( \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \).
4. Нам известно \( AC = 5 \) и \( \sin B = \frac{3}{5} \).
5. Чтобы найти \( AB \), нам нужно найти \( \sin C \). Сумма углов в треугольнике равна 180°, то есть \( C = 180^{\circ} - (A + B) \).
6. \( \sin C = \sin(180^{\circ} - (A + B)) = \sin(A + B) \).
7. \( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \).
8. Нам нужно найти \( \cos B \) и \( \cos A \). Поскольку \( \sin B = \frac{3}{5} \) и \( B \) — угол треугольника (от 0° до 180°), \( \cos B = \sqrt{1 - \sin^2 B} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \) (берем положительное значение, так как если \( B \) — тупой, то \( A \) будет отрицательным, что невозможно).
9. Так как \( A = B \), то \( \cos A = \cos B = \frac{4}{5} \).
10. \( \sin C = \sin(A + B) = \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{12}{25} + \frac{12}{25} = \frac{24}{25} \).
11. Теперь найдем \( AB \) из теоремы синусов: \( \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \).
12. \( \frac{AB}{\frac{24}{25}} = \frac{5}{\frac{3}{5}} \).
13. \( \frac{AB}{\frac{24}{25}} = 5 \cdot \frac{5}{3} = \frac{25}{3} \).
14. \( AB = \frac{25}{3} \cdot \frac{24}{25} \).
15. \( AB = \frac{24}{3} = 8 \).

Ответ: 8