9. В прямоугольнике ABCD биссектриса угла D делит сторону AB в отношении 1:2. Найдите длину стороны DC, если периметр прямоугольника равен 48 см.

Решение:

Пусть биссектриса угла D пересекает сторону AB в точке K. По условию, \( AK : KB = 1 : 2 \).

В прямоугольнике ABCD \( \angle D = 90^{\circ} \).

DK — биссектриса угла D, значит, \( \angle ADK = \angle KDC = 90^{\circ} / 2 = 45^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle ADK \). \( \angle DAK = 90^{\circ} \) (так как ABCD — прямоугольник).

\( \angle ADK = 45^{\circ} \).

Сумма углов в \( \triangle ADK \) равна 180°, поэтому \( \angle AKD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).

Так как \( \angle ADK = \angle AKD = 45^{\circ} \), то \( \triangle ADK \) — равнобедренный.

Следовательно, \( AD = AK \).

По условию, \( AK : KB = 1 : 2 \).

Пусть \( AK = x \), тогда \( KB = 2x \).

Тогда \( AD = x \).

Сторона \( AB = AK + KB = x + 2x = 3x \).

В прямоугольнике противоположные стороны равны: \( DC = AB = 3x \) и \( BC = AD = x \).

Периметр прямоугольника равен \( P = 2(AB + AD) \).

По условию, \( P = 48 \) см.

\( 2(3x + x) = 48 \).

\( 2(4x) = 48 \).

\( 8x = 48 \).

\( x = \frac{48}{8} = 6 \) см.

Нам нужно найти длину стороны DC.

\( DC = AB = 3x = 3 \times 6 = 18 \) см.

Ответ: 18 см