7. Меньшая сторона прямоугольника ABCD равна ____ пересечения диагоналей. ∠AOD = 120°. Определите длину стороны.

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Точка пересечения диагоналей — O.

\( AO = BO = CO = DO \).

Рассмотрим \( \triangle AOD \). Он равнобедренный, так как \( AO = DO \).

Угол \( \angle AOD = 120^{\circ} \).

Углы при основании \( \triangle AOD \) равны:

\( \angle OAD = \angle ODA = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).

Угол \( \angle DAB \) прямоугольника равен 90°.

\( \angle OAB = \angle DAB - \angle OAD = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle AOB \). Он тоже равнобедренный, так как \( AO = BO \).

Угол \( \angle AOB = 180^{\circ} - \angle AOD = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \) (развернутый угол).

Так как \( \triangle AOB \) равнобедренный и один из углов (при вершине O) равен 60°, то это равносторонний треугольник.

Следовательно, \( AO = BO = AB \).

Диагонали прямоугольника равны, поэтому \( AC = BD \).

\( AO = \frac{1}{2} AC \) и \( DO = \frac{1}{2} BD \).

Так как \( AC = BD \), то \( AO = DO \).

В равнобедренном \( \triangle AOD \), \( AO = DO \). Угол \( \angle OAD = \angle ODA = 30^{\circ} \).

В равнобедренном \( \triangle AOB \), \( AO = BO \). Угол \( \angle AOB = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

Значит, \( \triangle AOB \) равносторонний, т.е. \( AO = BO = AB \).

Если \( AB = x \), то \( AO = x \).

Угол \( \angle DAO = 90^{\circ} - \angle OAB = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Сторона \( AD \) — это другая сторона прямоугольника. Рассмотрим \( \triangle AOD \).

\( AO = DO \). \( \angle AOD = 120^{\circ} \). \( \angle OAD = \angle ODA = 30^{\circ} \).

Отношение сторон в \( \triangle AOD \) можно найти через синус.

По теореме синусов в \( \triangle AOD \): \( \frac{AD}{\sin(\angle AOD)} = \frac{AO}{\sin(\angle ODA)} \).

\( \frac{AD}{\sin(120^{\circ})} = \frac{AO}{\sin(30^{\circ})} \).

\( AD = AO \cdot \frac{\sin(120^{\circ})}{\sin(30^{\circ})} = AO \cdot \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = AO \cdot \sqrt{3} \).

Мы знаем, что \( AB = AO \).

Значит, \( AD = AB \cdot \sqrt{3} \).

Так как \( \sqrt{3} > 1 \), то \( AD > AB \). Следовательно, \( AB \) — меньшая сторона.

Если \( AB = x \), то \( AD = x\sqrt{3} \).

По условию, меньшая сторона прямоугольника равна, например, 18 см (вариант б).

Значит, \( AB = 18 \) см.

Ответ: б) 18 см