9. В окружности с центром О проведены диаметр DF и хорда FE. Найдите ∠FDE, если ∠FEO=23°.

Решение:

Дано: Окружность с центром \( O \), \( DF \) — диаметр, \( FE \) — хорда. \( \angle FEO = 23^{\circ} \).

Найти: \( \angle FDE \).

Решение:

1. Рассмотрим \( \triangle FEO \). \( OF \) и \( OE \) — радиусы окружности, поэтому \( OF = OE \). Следовательно, \( \triangle FEO \) — равнобедренный.
2. В равнобедренном \( \triangle FEO \) углы при основании равны: \( \angle OFE = \angle FEO = 23^{\circ} \).
3. \( DF \) — диаметр, а \( FE \) — хорда. Угол \( \angle FDE \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( FE \).
4. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу \( FE \), равен \( \angle FOE \).
5. В \( \triangle FEO \) сумма углов равна \( 180^{\circ} \):
6. \( \angle FOE + \angle OFE + \angle FEO = 180^{\circ} \)
7. \( \angle FOE + 23^{\circ} + 23^{\circ} = 180^{\circ} \)
8. \( \angle FOE + 46^{\circ} = 180^{\circ} \)
9. \( \angle FOE = 180^{\circ} - 46^{\circ} = 134^{\circ} \).
10. Угол \( \angle FDE \) вписан и опирается на дугу \( FE \). Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
11. \( \angle FDE = \frac{1}{2} \angle FOE \)
12. \( \angle FDE = \frac{1}{2} \cdot 134^{\circ} = 67^{\circ} \).
13. Альтернативное решение:
14. Угол \( \angle DFE \) — вписанный угол, опирающийся на диаметр \( DF \). Следовательно, \( \angle DFE = 90^{\circ} \).
15. Рассмотрим \( \triangle FDE \). Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \).
16. \( \angle FDE + \angle DEF + \angle DFE = 180^{\circ} \)
17. Угол \( \angle DEF \) — это тот же угол, что и \( \angle FEO \), поскольку точки \( D, O, F \) лежат на одной прямой. \( \angle DEF = \angle FEO = 23^{\circ} \).
18. \( \angle FDE + 23^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \)
19. \( \angle FDE + 113^{\circ} = 180^{\circ} \)
20. \( \angle FDE = 180^{\circ} - 113^{\circ} = 67^{\circ} \).

Ответ: \( \angle FDE = 67^{\circ} \).