6. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол при вершине В равен 70°. а) Найдите углы при основании. б) Найдите внешний угол при вершине А.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( AC \) — основание, \( \angle B = 70^{\circ} \).

Найти: \( \angle BAC, \angle BCA, \angle A_{внешний} \).

1. а) Найдём углы при основании:
• Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \).
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA \).
• \( \angle BAC + \angle BCA + \angle B = 180^{\circ} \)
• \( 2 \cdot \angle BAC + 70^{\circ} = 180^{\circ} \)
• \( 2 \cdot \angle BAC = 180^{\circ} - 70^{\circ} \)
• \( 2 \cdot \angle BAC = 110^{\circ} \)
• \( \angle BAC = \frac{110^{\circ}}{2} = 55^{\circ} \)
• Значит, \( \angle BAC = \angle BCA = 55^{\circ} \).
2. б) Найдём внешний угол при вершине А:
• Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним.
• \( \angle A_{внешний} = \angle B + \angle BCA \)
• \( \angle A_{внешний} = 70^{\circ} + 55^{\circ} = 125^{\circ} \)
• Или, внешний угол является смежным с внутренним углом, поэтому:
• \( \angle A_{внешний} = 180^{\circ} - \angle BAC \)
• \( \angle A_{внешний} = 180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ} \)

Ответ: а) \( \angle BAC = \angle BCA = 55^{\circ} \); б) \( \angle A_{внешний} = 125^{\circ} \).