8. В равнобедренном треугольнике АСК на боковых сторонах АС и СК отмечены точки D и F так, что CD=CF. Докажите, что ∠DKA=∠FAK.

Решение:

Дано: \( \triangle ASK \) — равнобедренный, \( AS = SK \). На боковых сторонах \( AC \) и \( CK \) отмечены точки \( D \) и \( F \) так, что \( CD = CF \).

Доказать: \( \angle DKA = \angle FAK \).

Доказательство:

1. Рассмотрим \( \triangle ASK \). Так как \( AS = SK \), то \( \angle SAK = \angle SKA \) (углы при основании равны).
2. Рассмотрим \( \triangle CDF \). Так как \( CD = CF \), то \( \triangle CDF \) — равнобедренный. Следовательно, \( \angle CDF = \angle CFD \).
3. Углы \( \angle CDF \) и \( \angle ASK \) являются углами при основании \( AC \) треугольника \( ABC \), а \( \angle CFD \) и \( \angle CSK \) — углами при основании \( CK \) треугольника \( CSК \).
4. Рассмотрим \( \triangle AKD \) и \( \triangle CFА \).
5. Так как \( CD = CF \), то \( \angle CDF = \angle CFD \).
6. Углы \( \angle CDF \) и \( \angle AKD \) являются смежными с \( \angle ADK \) и \( \angle AFK \) соответственно.
7. Углы \( \angle AKD \) и \( \angle AFK \) являются внешними для \( \triangle KDC \) и \( \triangle KCF \) соответственно.
8. Рассмотрим \( \triangle DCK \) и \( \triangle FCK \).
9. \( CD = CF \) (по условию).
10. \( CK = CK \) (общая сторона).
11. \( \angle DCK = \angle FCK \) (углы при основании равнобедренного \( \triangle ASK \)).
12. Следовательно, \( \triangle DCK = \triangle FCK \) по двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников).
13. Из равенства треугольников следует, что \( DK = FK \).
14. Теперь рассмотрим \( \triangle DKA \) и \( \triangle FKА \).
15. \( DK = FK \) (доказано выше).
16. \( AK = AK \) (общая сторона).
17. \( AD = AF \) (поскольку \( AC = SK \) и \( CD = CF \), то \( AD = AC - CD \) и \( AF = SK - CF \), а так как \( AC = SK \) и \( CD = CF \), то \( AD = AF \)).
18. Следовательно, \( \triangle DKA = \triangle FKА \) по трём сторонам (третий признак равенства треугольников).
19. Из равенства треугольников следует, что \( \angle DKA = \angle FAK \).

Что и требовалось доказать.