9. В окружности проведены две хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке К, КС = 6 см, АК = 8 см, ВК + DK = 28 см. Найдите длины ВК и DK.

Решение:

По свойству пересекающихся хорд в окружности, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: \( AK \cdot KB = CK \cdot KD \).

Из условия известно, что \( AK = 8 \text{ см} \) и \( CK = 6 \text{ см} \).

Пусть \( KB = x \) см и \( KD = y \) см. Тогда:

\( 8 \text{ см} \cdot x \text{ см} = 6 \text{ см} \cdot y \text{ см} \Rightarrow 8x = 6y \Rightarrow 4x = 3y \).

Из второго условия известно, что \( KB + DK = 28 \text{ см} \), то есть \( x + y = 28 \).

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( 4x = 3y \)
2. \( x + y = 28 \)

Выразим \( y \) из второго уравнения: \( y = 28 - x \).

Подставим это значение в первое уравнение:

\( 4x = 3(28 - x) \Rightarrow 4x = 84 - 3x \Rightarrow 7x = 84 \Rightarrow x = 12 \text{ см} \).

Теперь найдём \( y \): \( y = 28 - x = 28 - 12 = 16 \text{ см} \).

Итак, \( KB = 12 \text{ см} \) и \( KD = 16 \text{ см} \).

Ответ: ВК = 12 см, DK = 16 см.