10. Квадрат со стороной 8 см описан около окружности. Найдите площадь прямоугольного треугольника с острым углом 30°, вписанного в данную окружность.

Решение:

Квадрат описан около окружности. Это означает, что сторона квадрата равна диаметру окружности.

1. Диаметр окружности \( d \) равен стороне квадрата: \( d = 8 \text{ см} \).
2. Радиус окружности \( R \) равен половине диаметра: \( R = \frac{d}{2} = \frac{8 \text{ см}}{2} = 4 \text{ см} \).
3. Прямоугольный треугольник вписан в данную окружность. Гипотенуза такого треугольника является диаметром окружности.
4. Гипотенуза \( c \) прямоугольного треугольника равна диаметру окружности: \( c = 8 \text{ см} \).
5. Треугольник прямоугольный с острым углом \( 30^\circ \). Пусть один из острых углов равен \( \alpha = 30^\circ \), тогда другой острый угол равен \( \beta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).
6. Найдём катеты треугольника. Катет, противолежащий углу \( 30^\circ \), равен половине гипотенузы: \( a = \frac{c}{2} = \frac{8 \text{ см}}{2} = 4 \text{ см} \).
7. Второй катет \( b \) можно найти по теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \Rightarrow 4^2 + b^2 = 8^2 \Rightarrow 16 + b^2 = 64 \Rightarrow b^2 = 48 \Rightarrow b = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см} \).
8. Площадь прямоугольного треугольника находится по формуле \( S = \frac{1}{2} \times \text{катет}_1 \times \text{катет}_2 \).
9. \( S = \frac{1}{2} \times 4 \text{ см} \times 4\sqrt{3} \text{ см} = \frac{1}{2} \times 16\sqrt{3} \text{ см}^2 = 8\sqrt{3} \text{ см}^2 \).

Ответ: \( 8\sqrt{3} \text{ см}^2 \).