9) Решите неравенство (x+8) / ((4x-1)(x-2)) ≥ 0 (1 балл)

Решение:

Для решения рационального неравенства используем метод интервалов.

1. Найдем корни числителя и знаменателя:
• Числитель: \( x+8 = 0 \) \( \implies x = -8 \).
• Знаменатель: \( (4x-1)(x-2) = 0 \) \( \implies 4x-1=0 \) или \( x-2=0 \) \( \implies x = 1/4 \) или \( x = 2 \).
2. Отметим найденные точки на числовой оси: -8, 1/4, 2. Обратите внимание, что точки 1/4 и 2 — 'выколотые' (строгое неравенство в знаменателе), а точка -8 — 'закрашенная' (нестрогое неравенство в числителе).
3. Разобьём числовую ось на интервалы: \( (-\infty, -8] \), \( [-8, 1/4) \), \( (1/4, 2) \), \( (2, \infty) \).
4. Определим знак выражения \( \frac{x+8}{(4x-1)(x-2)} \) на каждом интервале:
• Для \( x > 2 \) (например, \( x=3 \)): \( \frac{+}{+ \cdot +} = + \).
• Для \( 1/4 < x < 2 \) (например, \( x=1 \)): \( \frac{+}{+ \cdot -} = - \).
• Для \( -8 \le x < 1/4 \) (например, \( x=0 \)): \( \frac{+}{- \cdot -} = + \).
• Для \( x < -8 \) (например, \( x=-9 \)): \( \frac{-}{- \cdot -} = - \).
5. Нам нужно, где выражение \( \ge 0 \). Это интервалы \( [-8, 1/4) \) и \( (2, \infty) \).

Ответ: \( x \in [-8; 1/4) \cup (2; \infty) \).