9. Решите неравенство: \(\left(\frac{1}{5}\right)^{x-2} > 5\)

Решение:

Чтобы решить это показательное неравенство, приведем обе части к одному основанию.

1. Заметим, что \( \frac{1}{5} = 5^{-1} \) и \( 5 = 5^1 \).
2. Перепишем неравенство с основанием 5: \( (5^{-1})^{x-2} > 5^1 \).
3. Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m
   } \): \( 5^{-(x-2)} > 5^1 \).
4. Раскроем скобки в показателе: \( 5^{-x+2} > 5^1 \).
5. Так как основание степени \( 5 > 1 \), при снятии основания знак неравенства сохраняется: \( -x+2 > 1 \).
6. Решим полученное линейное неравенство: \( -x > 1 - 2 \). \( -x > -1 \).
7. Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный: \( x < 1 \).

Ответ: \( x < 1 \).