6. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между прямой AB₁ и плоскостью ABC₁.

Решение:

Пусть ребро куба равно \( a \).

1. Найдем длину вектора AB₁: \( \vec{AB_1} = (a; a; a) \) (если A - начало координат, AB по оси X, AA₁ по оси Y, AD по оси Z). Длина \( |\vec{AB_1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} \).
2. Найдем вектор нормали к плоскости ABC₁: Плоскость ABC₁ проходит через точки A(0,0,0), B(a,0,0), C₁(a,a,a). Векторы в плоскости: \( \vec{AB} = (a; 0; 0) \) и \( \vec{AC_1} = (a; a; a) \). Вектор нормали \( \vec{n} \) перпендикулярен этим векторам. \( \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ a & a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0-0) - \mathbf{j}(a^2-0) + \mathbf{k}(a^2-0) = (0; -a^2; a^2) \). Нормальный вектор можно взять \( (0; -1; 1) \).
3. Найдем угол между прямой и плоскостью: Угол \( \gamma \) между прямой и плоскостью равен \( 90^\circ \) минус угол \( \beta \) между направляющим вектором прямой \( \vec{AB_1} \) и вектором нормали \( \vec{n} \).
4. Найдем косинус угла \( \beta \) между \( \vec{AB_1} \) и \( \vec{n} \): \( \cos \beta = \frac{|\vec{AB_1} \cdot \vec{n}|}{|\vec{AB_1}| \cdot |\vec{n}|} \). \( \vec{AB_1} \cdot \vec{n} = (a; a; a) \cdot (0; -1; 1) = a\cdot0 + a\cdot(-1) + a\cdot1 = 0 - a + a = 0 \).
5. Вывод: Так как скалярное произведение равно нулю, векторы \( \vec{AB_1} \) и \( \vec{n} \) перпендикулярны, то есть \( \beta = 90^\circ \).
6. Найдем искомый угол \( \gamma \): \( \gamma = 90^\circ - \beta = 90^\circ - 90^\circ = 0^\circ \).

Ответ: Угол между прямой AB₁ и плоскостью ABC₁ равен 0°. Это означает, что прямая AB₁ лежит в плоскости ABC₁ (или параллельна ей).