8. Решите уравнение: \(2^{2x} - 6 \cdot 2^x = -8\)

Решение:

Данное уравнение является квадратным относительно \(2^x\).

Сделаем замену переменной: пусть \(y = 2^x\). Тогда \(2^{2x} = (2^x)^2 = y^2\).

Уравнение примет вид:

\[ y^2 - 6y = -8 \]

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

\[ y^2 - 6y + 8 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \]

Найдем корни \(y\):

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Теперь вернемся к замене \(y = 2^x\):

Случай 1: \(y = 4\)

\[ 2^x = 4 \]

\[ 2^x = 2^2 \]

\[ x = 2 \]

Случай 2: \(y = 2\)

\[ 2^x = 2 \]

\[ 2^x = 2^1 \]

\[ x = 1 \]

Ответ: \(x = 1, x = 2\)