9. Решите неравенство: 2^(2x+1) - 5·2^x + 2 > 0.

Решение:

Перепишем неравенство:

\( 2^{2x} \cdot 2^1 - 5 \cdot 2^x + 2 > 0 \)

\( 2 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x + 2 > 0 \)

Пусть \( y = 2^x \). Тогда неравенство примет вид:

\( 2y^2 - 5y + 2 > 0 \)

Найдём корни квадратного трёхчлена \( 2y^2 - 5y + 2 = 0 \):

\( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \)

\( \sqrt{D} = 3 \)

\( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \)

\( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

Неравенство \( 2y^2 - 5y + 2 > 0 \) выполняется при \( y < 1/2 \) или \( y > 2 \).

Теперь вернёмся к замене \( y = 2^x \):

1. \( 2^x < \frac{1}{2} \) \( \implies \) \( 2^x < 2^{-1} \) \( \implies \) \( x < -1 \).

2. \( 2^x > 2 \) \( \implies \) \( 2^x > 2^1 \) \( \implies \) \( x > 1 \).

Объединяя оба случая, получаем решение.

Ответ: \( x < -1 \) или \( x > 1 \).