8. Найти корни уравнения: 2^(2+x) - 4/(2^x) = 15.

Решение:

Перепишем уравнение:

\( 2^2 \cdot 2^x - \frac{4}{2^x} = 15 \)

\( 4 \cdot 2^x - \frac{4}{2^x} = 15 \)

Пусть \( y = 2^x \). Тогда уравнение примет вид:

\( 4y - \frac{4}{y} = 15 \)

Умножим обе части на \( y \) (при \( y \neq 0 \), что верно для \( 2^x \)):

\( 4y^2 - 4 = 15y \)

Приведём к квадратному уравнению:

\( 4y^2 - 15y - 4 = 0 \)

Найдём дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{289} = 17 \)

Найдём корни для \( y \):

\( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 17}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4 \)

\( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 17}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} \)

Теперь вернёмся к замене \( y = 2^x \):

1. \( 2^x = 4 \) \( \implies \) \( 2^x = 2^2 \) \( \implies \) \( x = 2 \).

2. \( 2^x = -\frac{1}{4} \). Это уравнение не имеет решений, так как степень с действительным показателем всегда положительна.

Ответ: \( x = 2 \).