9. Площадь прямоугольного треугольника равна 54 см², а катеты треугольника, подобного данному, относятся как 3: 4. Найдите периметр данного треугольника.

Задание 9. Подобные прямоугольные треугольники

Пусть данный прямоугольный треугольник имеет катеты \( a \) и \( b \), а гипотенузу \( c \).

Площадь этого треугольника \( S = \frac{1}{2}ab = 54 \text{ см}^2 \).

Пусть подобный треугольник имеет катеты \( a' \) и \( b' \).

По условию, \( a' : b' = 3 : 4 \). Это означает, что \( a' = 3k \) и \( b' = 4k \) для некоторого коэффициента подобия \( k \).

Из подобия треугольников следует, что отношение их катетов равно отношению соответствующих сторон.

Значит, \( a : b = 3 : 4 \) или \( b : a = 3 : 4 \). Рассмотрим случай \( a : b = 3 : 4 \).

Тогда \( b = \frac{4}{3}a \).

Подставим это в формулу площади:

\[ S = \frac{1}{2}a \left( \frac{4}{3}a \right) = 54 \]\[ \frac{2}{3}a^2 = 54 \]\[ a^2 = 54 \cdot \frac{3}{2} = 27 \cdot 3 = 81 \]\[ a = \sqrt{81} = 9 \text{ см} \]

Теперь найдём \( b \):

\[ b = \frac{4}{3}a = \frac{4}{3} × 9 = 4 × 3 = 12 \text{ см} \]

Найдем гипотенузу \( c \) по теореме Пифагора:

\[ c^2 = a^2 + b^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \]\[ c = \sqrt{225} = 15 \text{ см} \]

Периметр данного треугольника:

\[ P = a + b + c = 9 + 12 + 15 = 36 \text{ см} \]

Ответ: 36.