3. Короткое плечо шлагбаума имеет длину 1 м, а длинное плечо - 3 м. На какую высоту (в метрах) опустится конец короткого плеча, когда конец длинного плеча поднимается на 1,8 м?

Задание 3. Шлагбаум

Представим шлагбаум как рычаг, вращающийся вокруг точки опоры. Длины плеч шлагбаума и изменение их положения можно описать с помощью подобия треугольников или тригонометрии.

Пусть \( L_1 \) — длина короткого плеча (1 м), \( L_2 \) — длина длинного плеча (3 м). Пусть \( h_1 \) — начальная высота, \( h_2 \) — конечная высота короткого плеча. Пусть \( H_1 \) — начальная высота длинного плеча, \( H_2 \) — конечная высота длинного плеча (1.8 м).

Мы можем представить положение шлагбаума как два прямоугольных треугольника, где плечи — гипотенузы. Изменение высоты связано с изменением угла наклона.

Рассмотрим два положения шлагбаума. Пусть \( \alpha \) — угол наклона длинного плеча к горизонту.

В первом положении (начальном): \( H_1 = L_2 \sin(\theta_1) \) и \( h_1 = L_1 \sin(\theta_2) \).

Во втором положении (конечном): \( H_2 = L_2 \sin(\alpha_2) \) и \( h_2 = L_1 \sin(\alpha_1) \).

Предположим, что изначально шлагбаум был горизонтален, тогда \( H_1 = 0 \) и \( h_1 = 0 \).

Когда длинное плечо поднимается на 1.8 м, это означает, что его конец находится на высоте 1.8 м от начального положения (предполагаем, что начальная высота была 0).

\( L_2 = 3 \) м, \( H_2 = 1.8 \) м.

Найдем угол \( \alpha_2 \), на который поднялось длинное плечо:

\[ \sin(\alpha_2) = \frac{H_2}{L_2} = \frac{1.8}{3} = 0.6 \]

Теперь найдём, на какую высоту опустится конец короткого плеча. Угол, на который повернётся короткое плечо, будет таким же, как и угол поворота длинного плеча (если считать от горизонтали, но здесь речь о изменении положения). Это подразумевает, что шлагбаум вращается как единое целое. Однако, задача сформулирована так, что изменение высоты одного конца приводит к изменению высоты другого.

Если конец длинного плеча поднимается на 1.8 м, то угол поворота \( \alpha \) таков, что \( 3 \sin(\alpha) = 1.8 \), откуда \( \sin(\alpha) = 0.6 \).

Теперь для короткого плеча \( L_1 = 1 \) м. Предположим, что оно также поворачивается на угол \( \alpha \). Высота, на которую опустится его конец, будет \( h = L_1 \sin(\alpha) \).

\[ h = 1 \cdot \sin(\alpha) = 1 \cdot 0.6 = 0.6 \] м.

То есть, если длинное плечо поднимается на 1.8 м, короткое опускается на 0.6 м.

Ответ: 0.6.