9. Периметр равнобедренного треугольника равен 26см, разность двух сторон равна 5 см, а один из его внешних углов — острый. Найдите стороны треугольника.

Решение:

Пусть стороны равнобедренного треугольника равны \( a \), \( a \) и \( b \).

Периметр: \( 2a + b = 26 \)

Внешний угол равнобедренного треугольника может быть острым или тупым. Если внешний угол острый, то внутренний угол при той же вершине тупой. В треугольнике может быть только один тупой угол. Это означает, что углы при основании должны быть острыми.

Рассмотрим два случая разности сторон:

Случай 1: Разность сторон равна \( a - b = 5 \)

Из \( 2a + b = 26 \) выразим \( b = 26 - 2a \).

Подставим во второе уравнение:

\( a - (26 - 2a) = 5 \)

\( a - 26 + 2a = 5 \)

\( 3a = 31 \)

\( a = \frac{31}{3} \) см.

Тогда \( b = 26 - 2 \cdot \frac{31}{3} = 26 - \frac{62}{3} = \frac{78 - 62}{3} = \frac{16}{3} \) см.

Стороны: \( \frac{31}{3} \), \( \frac{31}{3} \), \( \frac{16}{3} \) см.

Проверим условие внешнего угла. Углы при основании должны быть острыми. Если \( a = \frac{31}{3} \) и \( b = \frac{16}{3} \), то \( b < a \). Угол, противолежащий стороне \( b \), будет меньше углов при основании. Если этот угол тупой, то углы при основании острые. Если же угол при вершине тупой, то внешний угол при вершине острый.

Случай 2: Разность сторон равна \( b - a = 5 \)

Из \( 2a + b = 26 \) выразим \( b = 26 - 2a \).

Подставим во второе уравнение:

\( (26 - 2a) - a = 5 \)

\( 26 - 3a = 5 \)

\( 3a = 26 - 5 \)

\( 3a = 21 \)

\( a = 7 \) см.

Тогда \( b = 26 - 2 \cdot 7 = 26 - 14 = 12 \) см.

Стороны: 7 см, 7 см, 12 см.

Проверим условие внешнего угла: один из внешних углов острый. Если внешний угол острый, то внутренний тупой. В треугольнике может быть только один тупой угол. Если стороны 7, 7, 12, то угол, противолежащий стороне 12, может быть тупым. Тогда углы при основании острые. Внешний угол при вершине тупого угла будет острым.

Ответ: Стороны треугольника равны 7 см, 7 см и 12 см.