№9. Отметьте на координатной плоскости точки К (-4; 6), М (6; 1), N (-8; -2), L (7; 3). Проведите прямые КМ и NL. Найдите координаты точки пересечения этих прямых.

Решение:

1. Найдём уравнение прямой КМ.

К(-4; 6), М(6; 1).

Угловой коэффициент \( k_{КМ} = \frac{y_M - y_K}{x_M - x_K} = \frac{1 - 6}{6 - (-4)} = \frac{-5}{10} = -0,5 \).

Уравнение прямой: \( y - y_K = k_{КМ} (x - x_K) \)

\( y - 6 = -0,5 (x - (-4)) \)

\( y - 6 = -0,5 (x + 4) \)

\( y - 6 = -0,5x - 2 \)

\( y = -0,5x + 4 \) (Уравнение 1)

2. Найдём уравнение прямой NL.

N(-8; -2), L(7; 3).

Угловой коэффициент \( k_{NL} = \frac{y_L - y_N}{x_L - x_N} = \frac{3 - (-2)}{7 - (-8)} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \).

Уравнение прямой: \( y - y_N = k_{NL} (x - x_N) \)

\( y - (-2) = \frac{1}{3} (x - (-8)) \)

\( y + 2 = \frac{1}{3} (x + 8) \)

\( y + 2 = \frac{1}{3}x + \frac{8}{3} \)

\( y = \frac{1}{3}x + \frac{8}{3} - 2 \)

\( y = \frac{1}{3}x + \frac{8}{3} - \frac{6}{3} \)

\( y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \) (Уравнение 2)

3. Найдем точку пересечения (решим систему уравнений):

\( -0,5x + 4 = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \)

Умножим обе части на 6, чтобы избавиться от дробей и десятичных:

\( 6 \times (-0,5x) + 6 \times 4 = 6 \times \frac{1}{3}x + 6 \times \frac{2}{3} \)

\( -3x + 24 = 2x + 4 \)

\( 24 - 4 = 2x + 3x \)

\( 20 = 5x \)

\( x = \frac{20}{5} \)

\( x = 4 \)

Теперь подставим \( x = 4 \) в любое из уравнений, например, в первое:

\( y = -0,5 \times 4 + 4 \)

\( y = -2 + 4 \)

\( y = 2 \)

Ответ: Точка пересечения имеет координаты (4; 2).