9. Найдите все корни уравнения \(5 · 9^x + 2 · 15^x - 3 · 25^x = 0\).

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Перепишем уравнение, представив основания степеней через простые множители: \(5 · (3^2)^x + 2 · (3 · 5)^x - 3 · (5^2)^x = 0\), что дает \(5 · 3^{2x} + 2 · 3^x · 5^x - 3 · 5^{2x} = 0\).
2. Шаг 2: Разделим обе части уравнения на \(5^{2x}\) (так как \(5^{2x}
   e 0\)): \(5 · \frac{3^{2x}}{5^{2x}} + 2 · \frac{3^x · 5^x}{5^{2x}} - 3 = 0\).
3. Шаг 3: Упростим: \(5 · \left(\frac{3}{5}\right)^{2x} + 2 · \left(\frac{3}{5}\right)^x - 3 = 0\).
4. Шаг 4: Введем замену: пусть \(t = \left(\frac{3}{5}\right)^x\). Так как \(\left(\frac{3}{5}\right)^x > 0\) для любого \(x\), то \(t > 0\). Уравнение примет вид: \(5t^2 + 2t - 3 = 0\).
5. Шаг 5: Решим квадратное уравнение относительно \(t\): \(t_1 = \frac{-2 - \sqrt{2^2 - 4(5)(-3)}}{2(5)} = \frac{-2 - \sqrt{4 + 60}}{10} = \frac{-2 - \sqrt{64}}{10} = \frac{-2 - 8}{10} = -1\). \(t_2 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{10} = \frac{-2 + 8}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\).
6. Шаг 6: Так как \(t > 0\), то \(t = -1\) не подходит. Рассматриваем \(t = \frac{3}{5}\).
7. Шаг 7: Возвращаемся к замене: \(\left(\frac{3}{5}\right)^x = \frac{3}{5}\).
8. Шаг 8: Следовательно, \(x = 1\).

Ответ: \(x = 1\)