9. Найдите все корни уравнения 5·9ˣ + 2·15ˣ - 3·25ˣ = 0.

Решение:

Дано уравнение: \( 5 · 9^x + 2 · 15^x - 3 · 25^x = 0 \).

Заметим, что \( 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 \), \( 15^x = (3 · 5)^x = 3^x · 5^x \), \( 25^x = (5^2)^x = (5^x)^2 \).

Подставим это в уравнение:

\[ 5(3^x)^2 + 2(3^x)(5^x) - 3(5^x)^2 = 0 \]

Разделим обе части уравнения на \( (5^x)^2 \) (так как \( 5^x \) никогда не равно нулю):

\[ 5\frac{(3^x)^2}{(5^x)^2} + 2\frac{(3^x)(5^x)}{(5^x)^2} - 3\frac{(5^x)^2}{(5^x)^2} = 0 \]

\[ 5\left(\frac{3}{5}\right)^{2x} + 2\left(\frac{3}{5}\right)^x - 3 = 0 \]

Сделаем замену переменной: пусть \( y = \left(\frac{3}{5}\right)^x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 5y^2 + 2y - 3 = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем его корни:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(5)(-3) = 4 + 60 = 64 \]

\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2(5)} = \frac{-2 \pm 8}{10} \]

\[ y_1 = \frac{-2 + 8}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]

\[ y_2 = \frac{-2 - 8}{10} = \frac{-10}{10} = -1 \]

Теперь вернемся к замене \( y = \left(\frac{3}{5}\right)^x \):

1. \( \left(\frac{3}{5}\right)^x = \frac{3}{5} \). Отсюда \( x = 1 \).
2. \( \left(\frac{3}{5}\right)^x = -1 \). Показательная функция всегда положительна, поэтому это уравнение не имеет решений.

Ответ: x = 1.