9. Найдите tg α, если cos α = √10/10 и α ∈ (π/2, 3π/2).

Решение:

Дано: \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{10} \), \( \alpha \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \).

Найти: \( \operatorname{tg} \alpha \).

1. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
2. Найдём \( \sin \alpha \): \[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)^2 = 1 - \frac{10}{100} = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} \]
3. Так как \( \alpha \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \), \( \alpha \) может находиться во II или III четверти. В этих четвертях \( \sin \alpha \) отрицателен.
4. Следовательно, \( \sin \alpha = -\sqrt{\frac{9}{10}} = -\frac{3}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10} \).
5. Найдём \( \operatorname{tg} \alpha \) по формуле: \[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{10}}{10}} = -3 \]

Ответ: -3