9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции Y = - x³ + 3x² + 4 на отрезке [-3; 3].

Решение:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, найдем критические точки функции и вычислим значения функции в этих точках и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции:

\( Y' = -3x^2 + 6x \)

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( -3x^2 + 6x = 0 \)

\( -3x(x - 2) = 0 \)

Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 2 \). Обе точки принадлежат отрезку \( [-3; 3] \).

3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

• При \( x = -3 \): \( Y = -(-3)^3 + 3(-3)^2 + 4 = -(-27) + 3(9) + 4 = 27 + 27 + 4 = 58 \)
• При \( x = 0 \): \( Y = -(0)^3 + 3(0)^2 + 4 = 0 + 0 + 4 = 4 \)
• При \( x = 2 \): \( Y = -(2)^3 + 3(2)^2 + 4 = -8 + 3(4) + 4 = -8 + 12 + 4 = 8 \)
• При \( x = 3 \): \( Y = -(3)^3 + 3(3)^2 + 4 = -27 + 3(9) + 4 = -27 + 27 + 4 = 4 \)

4. Сравним полученные значения:

Значения функции: 58, 4, 8, 4.

Наибольшее значение функции равно 58.

Наименьшее значение функции равно 4.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 58, наименьшее значение функции равно 4.