8. Решите уравнение: sin 2x - cos x = 2sinx - 1.

Решение:

Перепишем уравнение, используя формулу синуса двойного угла \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \):

\( 2\sin(x)\cos(x) - \cos(x) - 2\sin(x) + 1 = 0 \)

Сгруппируем члены:

\( \cos(x)(2\sin(x) - 1) - (2\sin(x) - 1) = 0 \)

Вынесем общий множитель \( (2\sin(x) - 1) \):

\( (2\sin(x) - 1)(\cos(x) - 1) = 0 \)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Случай 1: \( 2\sin(x) - 1 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( \sin(x) = \frac{1}{2} \)

Решения этого уравнения:

\( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \)

\( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Случай 2: \( \cos(x) - 1 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( \cos(x) = 1 \)

Решения этого уравнения:

\( x = 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \; x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \; x = 2\pi n \), где \( k, n \) — целые числа.