9. Напишите уравнение касательной к графику функции \( f(x) = x^3 + 3x^2 + 2x \) в его точку с абсциссой \( x_0 = -1 \).

Решение:

Уравнение касательной к графику функции \( y = f(x) \) в точке \( x_0 \) имеет вид: \( y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \).

1. Найдем значение функции в точке \( x_0 = -1 \):
   • \( f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 + 2(-1) = -1 + 3(1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0 \)
2. Найдем производную функции:
   • \( f'(x) = (x^3 + 3x^2 + 2x)' = 3x^2 + 6x + 2 \)
3. Найдем значение производной в точке \( x_0 = -1 \):
   • \( f'(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) + 2 = 3(1) - 6 + 2 = 3 - 6 + 2 = -1 \)
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
   • \( y = 0 + (-1)(x - (-1)) \)
   • \( y = -1(x + 1) \)
   • \( y = -x - 1 \)

Ответ: \( y = -x - 1 \).