1. Найдите область определения функции y = lg \(\frac{9x^2 - 16}{x - 4}\)

Решение:

Для нахождения области определения логарифмической функции необходимо, чтобы её аргумент был строго больше нуля. В данном случае аргумент равен \(\frac{9x^2 - 16}{x - 4}\).

1. Запишем условие: \( \frac{9x^2 - 16}{x - 4} > 0 \).
2. Разложим числитель на множители как разность квадратов: \( 9x^2 - 16 = (3x)^2 - 4^2 = (3x - 4)(3x + 4) \).
3. Неравенство принимает вид: \( \frac{(3x - 4)(3x + 4)}{x - 4} > 0 \).
4. Найдём корни числителя и знаменателя: \( 3x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{3} \), \( 3x + 4 = 0 \Rightarrow x = -\frac{4}{3} \), \( x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \).
5. Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки интервалов методом интервалов.

Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому \( x \neq 4 \).

Расставим знаки на интервалах:

• При \( x > 4 \) (например, \( x=5 \)): \( \frac{(3 \cdot 5 - 4)(3 \cdot 5 + 4)}{5 - 4} = \frac{(11)(19)}{1} > 0 \)
• При \( \frac{4}{3} < x < 4 \) (например, \( x=2 \)): \( \frac{(3 \cdot 2 - 4)(3 \cdot 2 + 4)}{2 - 4} = \frac{(2)(10)}{-2} < 0 \)
• При \( -\frac{4}{3} < x < \frac{4}{3} \) (например, \( x=0 \)): \( \frac{(3 \cdot 0 - 4)(3 \cdot 0 + 4)}{0 - 4} = \frac{(-4)(4)}{-4} > 0 \)
• При \( x < -\frac{4}{3} \) (например, \( x=-2 \)): \( \frac{(3 \cdot (-2) - 4)(3 \cdot (-2) + 4)}{-2 - 4} = \frac{(-10)(-2)}{-6} < 0 \)

Нам нужен интервал, где выражение больше нуля. Это \( (-\frac{4}{3}; \frac{4}{3}) \) и \( (4; +\infty) \).

Ответ: \( x \in (-\frac{4}{3}; \frac{4}{3}) \cup (4; +\infty) \).