8. Найдите первообразную функции \( f(x) = 3x^2 - 5 \), значение которой при \( x = 2 \) равно 10.

Решение:

Найдем первообразную функции \( f(x) = 3x^2 - 5 \).

Общий вид первообразной \( F(x) \) находится интегрированием:

\( F(x) = \int (3x^2 - 5) dx = 3 \int x^2 dx - \int 5 dx \)

\( F(x) = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} - 5x + C = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 5x + C = x^3 - 5x + C \), где \( C \) — константа интегрирования.

По условию, значение первообразной при \( x = 2 \) равно 10, то есть \( F(2) = 10 \).

Подставим \( x = 2 \) в выражение для \( F(x) \):

\( F(2) = 2^3 - 5 \cdot 2 + C \)

\( 10 = 8 - 10 + C \)

\( 10 = -2 + C \)

\( C = 10 + 2 = 12 \).

Таким образом, искомая первообразная имеет вид \( F(x) = x^3 - 5x + 12 \).

Ответ: \( F(x) = x^3 - 5x + 12 \).